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Préciser comment obtenir une base $(e_i)_{i=1}^n$ de $E$, et une base $(f_j)_{j=1}^m$ de $F$, telles que $h(e_k)=f_k$ pour $k=1,\ldots,r$ et $h(e_k)=0$ pour $k>r$. Quelle est la matrice de $h$ dans un tel couple de bases ?

Déterminer un tel couple de bases pour l’homomorphisme de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^3$ défini dans les bases canoniques par : $$h(x_1,x_2,x_3,x_4) = (y_1,y_2,y_3)\quad\mbox{avec}\quad \left\{\begin{array}{rcl} y_1 & = & 2x_1-x_2+x_3-x_4 \\ y_2 & = & x_2+x_3-2x_4 \\ y_3 & = & x_1+2x_2+x_3+x_4 \end{array}\right.$$

Même question pour l’application $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans lui-même définie par : $$f(x,y,z)=(2x+y+z,-y+z,x+y).$$