Soit \(h\) une application linéaire de rang \(r\), de \(E\), espace vectoriel de dimension \(n\), dans \(F\), espace vectoriel de dimension \(m\).
Préciser comment obtenir une base \((e_i)_{i=1}^n\) de \(E\), et une base \((f_j)_{j=1}^m\) de \(F\), telles que \(h(e_k)=f_k\) pour \(k=1,\ldots,r\) et \(h(e_k)=0\) pour \(k>r\). Quelle est la matrice de \(h\) dans un tel couple de bases ?
Déterminer un tel couple de bases pour l’homomorphisme de \(\mathbb{R}^4\) dans \(\mathbb{R}^3\) défini dans les bases canoniques par : \[h(x_1,x_2,x_3,x_4) = (y_1,y_2,y_3)\quad\mbox{avec}\quad \left\{\begin{array}{rcl} y_1 & = & 2x_1-x_2+x_3-x_4 \\ y_2 & = & x_2+x_3-2x_4 \\ y_3 & = & x_1+2x_2+x_3+x_4 \end{array}\right.\]
Même question pour l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dans lui-même définie par : \[f(x,y,z)=(2x+y+z,-y+z,x+y).\]