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On note $U = \begin{pmatrix} 1 &\dots &1 \cr \vdots &&\vdots \cr 1 &\dots &1 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\R)$ et ${\cal A} = \{ aU + bI,\ a,b \in \R \}\quad (n \ge 2)$ .

Montrer que ${\cal A}$ est une sous algèbre commutative de $\mathcal{M}_n(\R)$ .

Soit $M = aU+bI \in {\cal A}$ . Montrer que $M$ possède un inverse dans ${\cal A}$ si et seulement si $b(b+na) \ne 0$ , et le cas échéant, donner $M^{-1}$ .

Montrer que si $b(b+na) = 0$ , alors $M$ n’est pas inversible dans $\mathcal{M}_n(\R)$ .

Trouver les matrices $M \in {\cal A}$ vérifiant : $M^n = I$ .

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