On note \(U = \begin{pmatrix} 1 &\dots &1 \cr \vdots &&\vdots \cr 1 &\dots &1 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \({\cal A} = \{ aU + bI,\ a,b \in \R \}\quad (n \ge 2)\).
1
Montrer que \({\cal A}\) est une sous algèbre commutative de \(\mathcal{M}_n(\R)\).
2
Soit \(M = aU+bI \in {\cal A}\). Montrer que \(M\) possède un inverse dans \({\cal A}\) si et seulement si \(b(b+na) \ne 0\), et le cas échéant, donner \(M^{-1}\).
3
Montrer que si \(b(b+na) = 0\), alors \(M\) n’est pas inversible dans \(\mathcal{M}_n(\R)\).
4
Trouver les matrices \(M \in {\cal A}\) vérifiant : \(M^n = I\).