Cherchons une matrice \(A\) de format \((3,2)\) et une matrice \(B\) de format \((2,3)\) telles que \(AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)\).

Posons \(E=\Rr^2\) et notons \((i,j)\) la base canonique de \(E\).

Posons \(F=\Rr^3\) et notons \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(F\).

Le problème posé matriciellement peut aussi s’énoncer en termes d’applications linéaires : trouvons \(f\in\mathcal{L}(E,F)\) et \(g\in\mathcal{L}(F,E)\) telles que \(f\circ g(e_1)=8e_1+2e_2-2e_3\), \(f\circ g(e_2)= 2e_1+5e_2+4e_3\) et \(f\circ g(e_3) = -2e_1+4e_2+5e_3\).

Remarquons tout d’abord que le problème posé n’a pas nécessairement de solution car par exemple \(\text{rg}(f\circ g)\leqslant\text{Min}\{f,g\}\leqslant\text{dim}E=2\) et si la matrice proposée est de rang \(3\) (c’est à dire inversible), le problème posé n’a pas de solution.

Ici, \(\left| \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right|=8\times9-2\times18-2\times18=0\) et la matrice proposée est de rang au plus \(2\) puis de rang \(2\) car ses deux premières colonnes ne sont pas colinéaires.

Une relation de dépendance des colonnes est \(C_1=2C_2-2C_3\).

Un couple \((f,g)\) solution devra vérifier \(f\circ g(e_1)=2f\circ g(e_2)-2f\circ g(e_3)\).

Prenons n’importe quoi ou presque pour \(g(e_2)\) et \(g(e_3)\) mais ensuite prenons \(g(e_1)= 2g(e_2) - 2g(e_3)\).

Par exemple, posons \(g(e_2) = i\), \(g(e_3) =j\) et \(g(e_1) = 2i-2j\) puis \(f(i) = 2e_1+5e_2+4e_3\) et \(f(j)=-2e_1+4e_2+5e_3\) ou encore soient \(A=\left( \begin{array}{cc} 2&-2\\ 5&4\\ 4&5 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -2&0&1 \end{array} \right)\). On a \(AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)\).

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de formats respectifs \((3,2)\) et \((2,3)\) telles que \(AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)\). Calculons \(BA\) (il n’y a bien sûr pas unicité de \(A\) et \(B\), mais l’énoncé suggère que le produit \(BA\) doit être indépendant de \(A\) et \(B\)).

Tout d’abord

\((AB)^2=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 72&18&-18\\ 18&45&36\\ -18&36&45 \end{array} \right)=9AB\).

De plus, \(\text{rg}(BA)\geqslant\text{rg}(A(BA)B)=\text{rg}((AB)^2)=\text{rg}(9AB) =\text{rg}(AB)=2\) et donc \(\text{rg}(BA)=2\) puis \(BA\in\mathcal{GL}_2(\Rr)\).

De l’égalité \((AB)^2=9AB\), on tire après multiplication à gauche par \(B\) et à droite par \(A\), \((BA)^3=9(BA)^2\) et, puisque \(BA\) est une matrice carrée inversible et donc simplifiable pour la multiplication des matrices, \(BA=9I_2\).

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