Cherchons une matrice $A$ de format $(3,2)$ et une matrice $B$ de format $(2,3)$ telles que $AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)$ .

Posons $E=\Rr^2$ et notons $(i,j)$ la base canonique de $E$ .

Posons $F=\Rr^3$ et notons $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $F$ .

Le problème posé matriciellement peut aussi s’énoncer en termes d’applications linéaires : trouvons $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $g\in\mathcal{L}(F,E)$ telles que $f\circ g(e_1)=8e_1+2e_2-2e_3$ , $f\circ g(e_2)= 2e_1+5e_2+4e_3$ et $f\circ g(e_3) = -2e_1+4e_2+5e_3$ .

Remarquons tout d’abord que le problème posé n’a pas nécessairement de solution car par exemple $\text{rg}(f\circ g)\leqslant\text{Min}\{f,g\}\leqslant\text{dim}E=2$ et si la matrice proposée est de rang $3$ (c’est à dire inversible), le problème posé n’a pas de solution.

Ici, $\left| \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right|=8\times9-2\times18-2\times18=0$ et la matrice proposée est de rang au plus $2$ puis de rang $2$ car ses deux premières colonnes ne sont pas colinéaires.

Une relation de dépendance des colonnes est $C_1=2C_2-2C_3$ .

Un couple $(f,g)$ solution devra vérifier $f\circ g(e_1)=2f\circ g(e_2)-2f\circ g(e_3)$ .

Prenons n’importe quoi ou presque pour $g(e_2)$ et $g(e_3)$ mais ensuite prenons $g(e_1)= 2g(e_2) - 2g(e_3)$ .

Par exemple, posons $g(e_2) = i$ , $g(e_3) =j$ et $g(e_1) = 2i-2j$ puis $f(i) = 2e_1+5e_2+4e_3$ et $f(j)=-2e_1+4e_2+5e_3$ ou encore soient $A=\left( \begin{array}{cc} 2&-2\\ 5&4\\ 4&5 \end{array} \right)$ et $B=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -2&0&1 \end{array} \right)$ . On a $AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)$ .

Soient $A$ et $B$ deux matrices de formats respectifs $(3,2)$ et $(2,3)$ telles que $AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)$ . Calculons $BA$ (il n’y a bien sûr pas unicité de $A$ et $B$ , mais l’énoncé suggère que le produit $BA$ doit être indépendant de $A$ et $B$ ).

Tout d’abord

$(AB)^2=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 72&18&-18\\ 18&45&36\\ -18&36&45 \end{array} \right)=9AB$ .

De plus, $\text{rg}(BA)\geqslant\text{rg}(A(BA)B)=\text{rg}((AB)^2)=\text{rg}(9AB) =\text{rg}(AB)=2$ et donc $\text{rg}(BA)=2$ puis $BA\in\mathcal{GL}_2(\Rr)$ .

De l’égalité $(AB)^2=9AB$ , on tire après multiplication à gauche par $B$ et à droite par $A$ , $(BA)^3=9(BA)^2$ et, puisque $BA$ est une matrice carrée inversible et donc simplifiable pour la multiplication des matrices, $BA=9I_2$ .

$BA=9I_2$ .

exo7 5585