Soient \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geq 3\) et \(b \in \mathbb{R}^n\), de composantes \((b_1, \ldots, b_n)\). On cherche \(x \in \mathbb{R}^n\), de composantes \((x_1, \ldots, x_n)\), solution de :
\[\begin{cases} 4x_1 + x_2 &= b_1, \\ x_{i-1} + 4x_i + x_{i+1} &= b_i, \quad \forall i \in [\![ 2, n - 1 ]\!] \\ x_{n-1} + 4x_n &= b_n. \end{cases}\]
Montrer que le système ci-dessus peut s’écrire sous la forme \(Ax=b\) avec une matrice \(A\) que l’on donnera pour \(n=4\).
On suppose, dans cette question uniquement, que \(b = 0\).
Montrer que : \(\forall i \in [\![1, n]\!]\,, \quad 4 |x_i| \leq 2 \|x\|_\infty\).
En déduire que \(x = 0\).
Montrer que dans le cas d’un second membre quelconque \(b\), il existe une unique \(x \in \mathbb{R}^n\) solution du système linéaire.
Afin de résoudre le système, on considère la méthode itérative suivante : \(x^{(0)} = 0 \in \mathbb{R}^n\) et
\[\begin{cases} x^{(k+1)}_1 = \alpha x^{(k)}_1 + \frac{\alpha - 1}{4} (x^{(k)}_2 - b_1), \\ x^{(k+1)}_i = \alpha x^{(k)}_i + \frac{\alpha - 1}{4} (x^{(k)}_{i-1} + x^{(k)}_{i+1} - b_i), & \forall i \in [\![ 2, n - 1 ]\!] \\ x^{(k+1)}_n = \alpha x^{(k)}_n + \frac{\alpha - 1}{4} (x^{(k)}_{n-1} - b_n). \end{cases}\]
avec pour paramètre \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Montrer que pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), on a
\[\|x^{(k+1)} - x\|_\infty \leq \left(|\alpha| + \frac{|\alpha - 1|}{2}\right) \|x^{(k)} - x\|_\infty.\]
Trouver \(\alpha_{\text{min}}, \alpha_{\text{max}} \in \mathbb{R}\), tels que \(\alpha \in ]\alpha_{\text{min}}, \alpha_{\text{max}}[\) si et seulement si \(|\alpha| + \frac{|\alpha - 1|}{2} < 1\).
Montrer que la méthode itérative converge vers \(x\) pour \(\alpha \in ]\alpha_{\text{min}}, \alpha_{\text{max}}[\).
Trouver \(\alpha_0 \in \mathbb{R}\) qui minimise la quantité \(|\alpha| + \frac{|\alpha - 1|}{2}.\) Que peut-on déduire de la convergence du système pour ce \(\alpha_0\) ? Quelle méthode du cours reconnaissez-vous ?