Méthode itérative d'inversion d'une matrice

Montrer que le système ci-dessus peut s’écrire sous la forme $Ax=b$ avec une matrice $A$ que l’on donnera pour $n=4$.

On suppose, dans cette question uniquement, que $b = 0$.

Montrer que : $\forall i \in [\![1, n]\!]\,, \quad 4 |x_i| \leq 2 \|x\|_\infty$.

En déduire que $x = 0$.

Montrer que dans le cas d’un second membre quelconque $b$, il existe une unique $x \in \mathbb{R}^n$ solution du système linéaire.

Afin de résoudre le système, on considère la méthode itérative suivante : $x^{(0)} = 0 \in \mathbb{R}^n$ et

$$\begin{cases} x^{(k+1)}_1 = \alpha x^{(k)}_1 + \frac{\alpha - 1}{4} (x^{(k)}_2 - b_1), \\ x^{(k+1)}_i = \alpha x^{(k)}_i + \frac{\alpha - 1}{4} (x^{(k)}_{i-1} + x^{(k)}_{i+1} - b_i), & \forall i \in [\![ 2, n - 1 ]\!] \\ x^{(k+1)}_n = \alpha x^{(k)}_n + \frac{\alpha - 1}{4} (x^{(k)}_{n-1} - b_n). \end{cases}$$

avec pour paramètre $\alpha \in \mathbb{R}$.

Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, on a

$$\|x^{(k+1)} - x\|_\infty \leq \left(|\alpha| + \frac{|\alpha - 1|}{2}\right) \|x^{(k)} - x\|_\infty.$$

Trouver $\alpha_{\text{min}}, \alpha_{\text{max}} \in \mathbb{R}$, tels que $\alpha \in ]\alpha_{\text{min}}, \alpha_{\text{max}}[$ si et seulement si $|\alpha| + \frac{|\alpha - 1|}{2} < 1$.

Montrer que la méthode itérative converge vers $x$ pour $\alpha \in ]\alpha_{\text{min}}, \alpha_{\text{max}}[$.

Trouver $\alpha_0 \in \mathbb{R}$ qui minimise la quantité $|\alpha| + \frac{|\alpha - 1|}{2}.$ Que peut-on déduire de la convergence du système pour ce $\alpha_0$ ? Quelle méthode du cours reconnaissez-vous ?