$F$ est un sous espace vectoriel de $M_2 ({\R })$ donc $\hbox{dim }(F) \in \{ 0,\ldots , 4\}$ . Comme $F\not = M_2 ({\R })$ on a aussi $\hbox{dim }(F) \not = 4$ . D’autre part les matrices $M_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 0 & 0 \end{pmatrix} , M_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} , M_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix}$ appartiennent à $F$ et sont linéairement indépendantes. En effet, si $\alpha M_1 + \beta M_2 + \gamma M_3 =0$ alors $\begin{pmatrix} \gamma & \alpha \cr \beta & -\gamma \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}$ c’est à dire $\alpha = \beta =\gamma =0$ . Donc $\hbox{dim }(F)\geq 3$ c’est à dire $\hbox{dim }(F)= 3$ . Enfin $\{ M_1 , M_2 , M_3 \}$ est une famille libre de trois vecteurs dans $F$ qui est un espace de dimension $3$ . C’est donc une base de $F$ .

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