\(F\) est un sous espace vectoriel de \(M_2 ({\R })\) donc \(\hbox{dim }(F) \in \{ 0,\ldots , 4\}\). Comme \(F\not = M_2 ({\R })\) on a aussi \(\hbox{dim }(F) \not = 4\). D’autre part les matrices \(M_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 0 & 0 \end{pmatrix} , M_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} , M_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix}\) appartiennent à \(F\) et sont linéairement indépendantes. En effet, si \(\alpha M_1 + \beta M_2 + \gamma M_3 =0\) alors \(\begin{pmatrix} \gamma & \alpha \cr \beta & -\gamma \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}\) c’est à dire \(\alpha = \beta =\gamma =0\). Donc \(\hbox{dim }(F)\geq 3\) c’est à dire \(\hbox{dim }(F)= 3\). Enfin \(\{ M_1 , M_2 , M_3 \}\) est une famille libre de trois vecteurs dans \(F\) qui est un espace de dimension \(3\). C’est donc une base de \(F\).

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