Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit \(\R_{n}[X]\) l’ensemble des polynômes de degré au plus \(n\).
On considère l’application \(\Phi:\R_{2}[X]\longrightarrow\R[X]\) définie par : \[\begin{equation} \Phi(P)(X):=(2X+1)P(X)-(X^2-1)P'(X). \end{equation}\]
Montrer que l’application \(\Phi\) est un endomorphisme.
Montrer que la matrice \(A\) de l’application \(\Phi\) dans la base \((1,X,X^2)\) s’écrit : \[\begin{equation} A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&1&2\\ 0&1&1 \end{pmatrix}. \end{equation}\]
Déterminer le rang de \(\Phi\).
En déduire que \(\Phi\) est une application inversible.
Déterminer une base du noyau de l’application \(\Phi-Id\), où \(Id\) désigne l’application identité.
Montrer que la dimension de l’image de \(\Phi-Id\) est de dimension \(2\). Déterminer une base de l’image.
Déterminer l’ensemble des polynômes de \(\R[X]\) vérifiant l’identité : \(2X\,P=(X^2-1)\,P'\).