L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 7 questions

exo7 7412

Soit R[X]\R[X] l’ensemble de polynômes dans R\R et soit Rn[X]\R_{n}[X] l’ensemble des polynômes de degré au plus nn.

On considère l’application Φ:R2[X]⟶R[X]\Phi:\R_{2}[X]\longrightarrow\R[X] définie par : Φ(P)(X):=(2X+1)P(X)−(X2−1)P′(X).\begin{equation} \Phi(P)(X):=(2X+1)P(X)-(X^2-1)P'(X). \end{equation}

1

Montrer que l’application Φ\Phi est un endomorphisme.

2

Montrer que la matrice AA de l’application Φ\Phi dans la base (1,X,X2)(1,X,X^2) s’écrit : A=(110212011).\begin{equation} A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&1&2\\ 0&1&1 \end{pmatrix}. \end{equation}

3

Déterminer le rang de Φ\Phi.

4

En déduire que Φ\Phi est une application inversible.

5

Déterminer une base du noyau de l’application Φ−Id\Phi-Id, où IdId désigne l’application identité.

6

Montrer que la dimension de l’image de Φ−Id\Phi-Id est de dimension 22. Déterminer une base de l’image.

7

Déterminer l’ensemble des polynômes de R[X]\R[X] vérifiant l’identité : 2X P=(X2−1) P′2X\,P=(X^2-1)\,P'.

Exercice cjoI

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