L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1054

Soit EE le sous ensemble de M3(R)M_3({\Rr}) défini par E={M(a,b,c)=(a0c0b0c0a)a,b,c∈R}.E = \Bigl \{ M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a & 0 & c \cr 0 & b & 0 \cr c & 0 & a \cr \end{pmatrix} a , b , c \in {\Rr} \Bigr \} .

1

Montrer que EE est un sous-espace vectoriel de M3(R)M_3(\Rr) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim (E).\hbox{dim } (E) .

2

Soit M(a,b,c)M(a,b,c) un élément de E.E . Déterminer, suivant les valeurs des paramètres a,b et c∈Ra , b \hbox{ et } c \in {\Rr} son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l’inverse M(a,b,c)−1M(a,b,c) ^{-1} de M(a,b,c).M(a,b,c) .

3

Donner une base de EE formée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de rang 1.1 .

Exercice IA0e

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