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Soient les matrices $A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -4 \\ -6 & -13 & 12 \\ -6 & -12 & 11\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ -3 & 4 & 1 \\ -3 & 3 & 1\end{pmatrix}$ .

Parmi les trois matrices suivantes, dire laquelle est l’inverse de $P$ en justifiant. $P_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \quad P_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix} \quad P_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Calculer $D = P^{-1} A P$ .

✅ Solution

$P^{-1} \cdot A \cdot P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & -2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -4 \\ -6 & -13 & 12 \\ -6 & -12 & 11 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ -3 & 4 & 1 \\ -3 & 3 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)=D$

En déduire $A^{-1}, A^{2 n}$ et $A^{2 n+1}$ , pour $n \in \mathbb{N}$ .

Inverse de matrice et application

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