Soient les matrices \(A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -4 \\ -6 & -13 & 12 \\ -6 & -12 & 11\end{pmatrix}\) et \(P=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ -3 & 4 & 1 \\ -3 & 3 & 1\end{pmatrix}\).
Parmi les trois matrices suivantes, dire laquelle est l’inverse de \(P\) en justifiant. \[P_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \quad P_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix} \quad P_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Calculer \(D = P^{-1} A P\).
✅ Solution
\[P^{-1} \cdot A \cdot P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & -2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -4 \\ -6 & -13 & 12 \\ -6 & -12 & 11 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ -3 & 4 & 1 \\ -3 & 3 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)=D\]
En déduire \(A^{-1}, A^{2 n}\) et \(A^{2 n+1}\), pour \(n \in \mathbb{N}\).