Pour $j\in\llbracket1,n\rrbracket$ , notons $C_j$ la $j$ -ème colonne de la matrice $A$ . Posons encore $U=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \vdots\\ n \end{array} \right)$ et $V=\left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ \vdots\\ n+1 \end{array} \right)$ . Pour $j\in\llbracket1,n\rrbracket$ , on a

$Cj = (i+j(i+1))_{1\leqslant i\leqslant n}= (i)_{1\leqslant i\leqslant n}+j(i+1)_{1\leqslant i\leqslant n}=U+jV$ .

Donc $\text{Vect}(C_1,...,C_n)\subset\text{Vect}(U,V)$ et en particulier, $\text{rg}A\leqslant 2$ . Maintenant, si $n\geqslant 2$ , les deux premières colonnes de $A$ ne sont pas colinéaires car $\left| \begin{array}{cc} 3&5\\ 5&8 \end{array} \right|=-1\neq0$ . Donc, si $n\geqslant2$ , $\text{rg}A=2$ et si $n=1$ , $\text{rg}A =1$ .

Si $n\geqslant 2$ , $\text{rg}(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}=2$ et si $n=1$ , $\text{rg}(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}=1$ .

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