Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante : \[\Big\{ \begin{array}{rccc} x_{n+1}&=&-9 x_n &-18 y_n \\ y_{n+1}&=&6 x_n &+ 12y_n\\ \end{array}\] avec \(x_0=-137\) et \(y_0=18\). On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites.
Montrer qu’il existe une matrice \(A \in M_2(\R)\) telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit équivalente à la relation \(U_{n+1}=AU_n\), où \(U_n= \begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}\).
Trouver une expression de \(U_n\) en fonction de \(A\) et de \(U_0\).
Trouver le noyau de \(A\), et en donner une base \(B_1\). Calculer le rang de \(A\).
Montrer que l’ensemble des vecteurs \(X \in \R^2\) tels que \(AX=3X\) est un sous-espace vectoriel de \(\R^2\). Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu’on notera \(B_2\).
Montrer que la réunion \(B_1 \cup B_2\) forme une base \(B\) de \(\R^2\). Soit \(P\) la matrice formée des composantes des vecteurs de \(B\) relativement à la base canonique de \(\R^2\). Montrer que \(P\) est inversible, et que le produit \(P^{-1}AP\) est une matrice diagonale \(D\) qu’on calculera.
Montrer que \(A^n=PD^nP^{-1}\). Calculer \(D^n\), et en déduire \(A^n\), pour tout \(n \in \N\).
Donner les termes généraux \(x_n\) et \(y_n\).