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Montrer qu’il existe une matrice $A \in M_2(\R)$ telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit équivalente à la relation $U_{n+1}=AU_n$, où $U_n= \begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}$.

Trouver une expression de $U_n$ en fonction de $A$ et de $U_0$.

Trouver le noyau de $A$, et en donner une base $B_1$. Calculer le rang de $A$.

Montrer que l’ensemble des vecteurs $X \in \R^2$ tels que $AX=3X$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$. Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu’on notera $B_2$.

Montrer que la réunion $B_1 \cup B_2$ forme une base $B$ de $\R^2$. Soit $P$ la matrice formée des composantes des vecteurs de $B$ relativement à la base canonique de $\R^2$. Montrer que $P$ est inversible, et que le produit $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ qu’on calculera.

Montrer que $A^n=PD^nP^{-1}$. Calculer $D^n$, et en déduire $A^n$, pour tout $n \in \N$.

Donner les termes généraux $x_n$ et $y_n$.