Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par \[f(x,y,z) = (4x + y + z, 4x + 7y +2z, -6x -6y-z).\]
1
Écrire la matrice \(A\) de \(f\) dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\Rr^3\).
2
Montrer que les vecteurs \(v_1 = (1,0,-2)\), \(v_2 = (1,-1,0)\) et \(v_3 = (0,-1,1)\) forment une base de \(\Rr^3\) que l’on note \(\mathcal{B}'\).
3
Déterminer la matrice de passage \([Id_{R^3}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}'\), et la matrice de passage \([Id_{R^3}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\) de \(\mathcal{B}'\) à \(\mathcal{B}\).
4
Déterminer la matrice \(M\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}'\).
5
En déduire \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\).