exo7 2441

Montrer que $u \circ v =0$ si et seulement si l’image de $v$ est contenue dans le noyau de $u$.

Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$. On suppose dans cette question que $u$ et $v$ s’expriment dans cette base par $$u(e_1) = e_1, \qquad u(e_i) = 0\quad\hbox{si}\quad i \neq 1,$$ $$v(e_2) = e_2, \qquad v(e_i) = 0\quad\hbox{si}\quad i \neq 2.$$ Trouver les matrices de $u$, $v$ et $u\circ v$ dans cette base.

Si $u$ est un endomorphisme quelconque non nul de $E$, quelle condition doit vérifier le noyau de $u$ pour qu’il existe un endomorphisme non nul $v$ tel que $u\circ v =0$ ? Dans ce cas, $u$ est-il bijectif ?