Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(u, v\) deux endomorphismes de \(E\).
1
Montrer que \(u \circ v =0\) si et seulement si l’image de \(v\) est contenue dans le noyau de \(u\).
2
Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\). On suppose dans cette question que \(u\) et \(v\) s’expriment dans cette base par \[u(e_1) = e_1, \qquad u(e_i) = 0\quad\hbox{si}\quad i \neq 1,\] \[v(e_2) = e_2, \qquad v(e_i) = 0\quad\hbox{si}\quad i \neq 2.\] Trouver les matrices de \(u\), \(v\) et \(u\circ v\) dans cette base.
3
Si \(u\) est un endomorphisme quelconque non nul de \(E\), quelle condition doit vérifier le noyau de \(u\) pour qu’il existe un endomorphisme non nul \(v\) tel que \(u\circ v =0\) ? Dans ce cas, \(u\) est-il bijectif ?