Montrons de différentes façons que \(\textrm{rg}(A)\ge 2\).

Première méthode : sous-déterminant non nul. On trouve une sous-matrice \(2\times 2\) dont le déterminant est non nul. Par exemple la sous-matrice extraite du coin en bas à gauche vérifie \(\begin{vmatrix}3 & 0\\ 5 & 4\end{vmatrix}= 12 \neq 0\) donc \(\textrm{rg}(A)\ge 2\). Deuxième méthode : espace vectoriel engendré par les colonnes. On sait que l’image de l’application linéaire associée à la matrice \(A\) est engendrée par les vecteurs colonnes. Et le rang est la dimension de cette image. On trouve facilement deux colonnes linéairement indépendantes : la deuxième \(\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\) et la troisième \(\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\) colonne. Donc \(\textrm{rg}(A)\ge 2\). Troisième méthode : espaces vectoriel engendré par les lignes. Il se trouve que la dimension de l’espace vectoriel engendré par les lignes égal la dimension de l’espace vectoriel engendré par les colonnes (car \(\textrm{rg}(A)=\textrm{rg}({}^tA)\)). Comme les deuxième et troisième lignes sont linéairement indépendantes alors \(\textrm{rg}(A)\ge 2\).

Attention : les dimensions des espaces vectoriels engendrés sont égales mais les espaces sont différents !

En utilisant la dernière méthode : le rang est exactement \(2\) si la première ligne est dans le sous-espace engendré par les deux autres. Donc \[\begin{align*} \textrm{rg}(A) = 2 & \iff (a,2,-1,b) \in \textrm{Vect} \big\{ (3,0,1,-4), (5,4,-1,2) \big\} \\ & \iff \exists \lambda,\mu \in \Rr \quad (a,2,-1,b) = \lambda (3,0,1,-4) + \mu(5,4,-1,2) \\ & \iff \exists \lambda,\mu \in \Rr \quad \left\{ \begin{array}{rcl} 3\lambda+5\mu &=& a \\ 4\mu &=& 2 \\ \lambda-\mu &=& -1 \\ -4\lambda+2\mu &=& b \\ \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda &=& -\frac12 \\ \mu &=& \frac12 \\ a &=& 1 \\ b &=& 3 \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}\] Conclusion la rang de \(A\) est \(2\) si \((a,b)=(1,3)\). Sinon le rang de \(A\) est \(3\).

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