Montrons de différentes façons que $\textrm{rg}(A)\ge 2$ .

Première méthode : sous-déterminant non nul. On trouve une sous-matrice $2\times 2$ dont le déterminant est non nul. Par exemple la sous-matrice extraite du coin en bas à gauche vérifie $\begin{vmatrix}3 & 0\\ 5 & 4\end{vmatrix}= 12 \neq 0$ donc $\textrm{rg}(A)\ge 2$ .
Deuxième méthode : espace vectoriel engendré par les colonnes. On sait que l’image de l’application linéaire associée à la matrice $A$ est engendrée par les vecteurs colonnes. Et le rang est la dimension de cette image. On trouve facilement deux colonnes linéairement indépendantes : la deuxième $\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$ et la troisième $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$ colonne. Donc $\textrm{rg}(A)\ge 2$ .
Troisième méthode : espaces vectoriel engendré par les lignes. Il se trouve que la dimension de l’espace vectoriel engendré par les lignes égal la dimension de l’espace vectoriel engendré par les colonnes (car $\textrm{rg}(A)=\textrm{rg}({}^tA)$ ). Comme les deuxième et troisième lignes sont linéairement indépendantes alors $\textrm{rg}(A)\ge 2$ .

Attention : les dimensions des espaces vectoriels engendrés sont égales mais les espaces sont différents !

En utilisant la dernière méthode : le rang est exactement $2$ si la première ligne est dans le sous-espace engendré par les deux autres. Donc $\begin{align*} \textrm{rg}(A) = 2 & \iff (a,2,-1,b) \in \textrm{Vect} \big\{ (3,0,1,-4), (5,4,-1,2) \big\} \\ & \iff \exists \lambda,\mu \in \Rr \quad (a,2,-1,b) = \lambda (3,0,1,-4) + \mu(5,4,-1,2) \\ & \iff \exists \lambda,\mu \in \Rr \quad \left\{ \begin{array}{rcl} 3\lambda+5\mu &=& a \\ 4\mu &=& 2 \\ \lambda-\mu &=& -1 \\ -4\lambda+2\mu &=& b \\ \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda &=& -\frac12 \\ \mu &=& \frac12 \\ a &=& 1 \\ b &=& 3 \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}$ Conclusion la rang de $A$ est $2$ si $(a,b)=(1,3)$ . Sinon le rang de $A$ est $3$ .

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