Soit \({\cal G} \subset \mathcal{M}_n(K)\) tel que pour la multiplication, \(\cal G\) soit un groupe. On note \(J\) l’élément neutre et pour \(M \in \cal G\), \(\phi_M\) l’endomorphisme de \(K^n\) canoniquement associé à \(M\).
1
Montrer que \(\phi_J\) est une projection.
2
Montrer que : \(\forall\ M \in \cal G\), \({\phi_M}_{|\mathrm{Ker}\phi_J} = 0\) et \({\phi_M}_{|\Im\phi_J}\) est un isomorphisme de \(\Im\phi_J\).
3
En déduire que \(\cal G\) est isomorphe à un groupe \(GL_k( K)\).