Soit \(X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)\) un vecteur du noyau de \(A\). Supposons \(X\neq0\). Alors, si \(i_0\) est un indice tel que \(|x_{i_0}|=\mbox{Max}\{|x_i|,\;i\in\{1,...,n\}\}\), on a \(|x_{i_0}|>0\).

Mais alors,

\[\begin{align*}\ensuremath AX=0&\Rightarrow\forall i\in\{1,...,n\},\;\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j=0 \\ &\Rightarrow|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|=|-\sum_{j\neq i_0}^{}a_{i_0,j}x_j|\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|.|x_j| \leq|x_{i_0}|\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}| \end{align*}\]

et, puisque \(|x_{i_0}|> 0\), on obtient \(|a_{i_0,i_0}\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|\) contredisant les hypothèses de l’énoncé. Donc, il est absurde de supposer que \(\mbox{Ker}A\) contient un vecteur non nul et \(A\) est bien inversible.

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