Soit $A=\sum_{M\in G}^{}M$ . Alors $A^2=\sum_{(M,N)\in G^2}^{}MN$ .

Soit $M\in G$ fixée. Considérons l’application $\varphi$ de $G$ dans $G$ qui à un élément $N$ de $G$ associe $MN$ . Puisque $G$ est stable pour le produit, $\varphi$ est bien une application. Plus précisément, $\varphi$ est une permutation de $G$ car l’application $\psi$ de $G$ dans lui-même qui à un élément $N$ de $G$ associe $M^{-1}N$ vérifie $\psi\circ\varphi=\varphi\circ\psi=Id_G$ . On en déduit que

$A^2=\sum_{M\in G}^{}\left(\sum_{N\in G}^{}MN\right)=\sum_{M\in G}^{}A=pA$ où $p=\text{card}(G)$ .

Finalement, la matrice $P=\frac{1}{p}A$ est idempotente car $\left(\frac{1}{p}A\right)^2=\frac{1}{p^2}pA=\frac{1}{p}A$ . Comme $A$ est une matrice de projection, on sait que $\text{rg}P=\text{Tr}P =\sum_{M\in G}^{}\text{Tr}M=0$ et donc $P=0$ ou encore $\sum_{M\in G}^{}M= 0$ .

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