exo7 5628

Montrer que si $A$ et $B$ commutent et sont nilpotentes alors $A+B$ est nilpotente et $\text{exp}(A+B) =\text{exp}A\times\text{exp}B$.

Montrer que $\text{exp}A$ est inversible.

Calculer $\text{exp}A$ où $A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&1\\ 0&\ldots& &\ldots&0 \end{array} \right)$.