Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose \(\text{exp}A=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{A^k}{k!}\).
1
Montrer que si \(A\) et \(B\) commutent et sont nilpotentes alors \(A+B\) est nilpotente et \(\text{exp}(A+B) =\text{exp}A\times\text{exp}B\).
2
Montrer que \(\text{exp}A\) est inversible.
3
Calculer \(\text{exp}A\) où \(A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&1\\ 0&\ldots& &\ldots&0 \end{array} \right)\).