OpenYourMath

L’exponentielle d’une matrice carrée $M$ est, par définition, la limite de la série $e^M = 1 + M + \frac{M^2}{2!} + \dots = \lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{M^k}{k!}.$ On admet que cette limite existe en vertu d’un théorème d’analyse.

Montrer que si $AB = BA$ alors $e^{A+B} = e^A e^B$ . On est autorisé, pour traiter cette question, à passer à la limite sans précautions.

Calculer $e^M$ pour les quatre matrices suivantes : $\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0\\0 & b & 0\\0 & 0& c \end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0 & a & b\\0 & 0 & c\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\-1 & 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right).$

Chercher un exemple simple où $e^{A + B}\neq e^A e^B$ .

exo7 2752

Signaler une erreur