Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2 = -I\).
1
Montrer que \(u\) est bijectif.
2
On suppose que les \(2p-1\) vecteurs \(x_1,\ldots,x_p, u(x_1),\ldots,u(x_{p-1})\) sont linéairement indépendants. Montrer que les \(2p\) vecteurs \(x_1,\ldots,x_p,\) \(u(x_1),\ldots,u(x_p)\) sont linéairement indépendants.
3
On suppose que \(E\) est de dimension finie. Montrer que \(E\) possède une base de la forme \(x_1,\ldots,x_p, u(x_1),\ldots,u(x_p)\) et est de dimension paire. Donner la matrice de \(u\) dans cette base.