L’ensemble des nombres complexes est défini par \(\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\) avec \(i^2=-1\). L’addition est définie par: \((a+i b)+(c+i d)=(a+c)+i(b+d)\) et la multiplication est donnée par : \((a+i b) \times(c+i d)=(a . c-b . d)+i(a d+b c)\). A chaque nombre complexe \(a+i b\), on associe la matrice \(M(a, b)=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right)\).
On note par \(J\) la matrice associée au nombre \(i\). Montrer que \(J^2=-I_2\), où \(I\) est la matrice identité.
Si les matrices \(M(a, b)\) et \(M^{\prime}\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\) sont associées respectivement aux nombres \(z=(a+i b)\) et \(z^{\prime}=\left(a^{\prime}+i b^{\prime}\right)\), montrer que \(M(a, b) \cdot M^{\prime}\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\) correspond au produit des nombres complexes : \(z . z^{\prime}\).
Pour \(A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right)\) non nulle, évaluer la matrice inverse \(A^{-1}\). Identifier le nombre complexe correspondant.