OpenYourMath

L’ensemble des nombres complexes est défini par $\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}$ avec $i^2=-1$ . L’addition est définie par: $(a+i b)+(c+i d)=(a+c)+i(b+d)$ et la multiplication est donnée par : $(a+i b) \times(c+i d)=(a . c-b . d)+i(a d+b c)$ . A chaque nombre complexe $a+i b$ , on associe la matrice $M(a, b)=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right)$ .

On note par $J$ la matrice associée au nombre $i$ . Montrer que $J^2=-I_2$ , où $I$ est la matrice identité.

Si les matrices $M(a, b)$ et $M^{\prime}\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$ sont associées respectivement aux nombres $z=(a+i b)$ et $z^{\prime}=\left(a^{\prime}+i b^{\prime}\right)$ , montrer que $M(a, b) \cdot M^{\prime}\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$ correspond au produit des nombres complexes : $z . z^{\prime}$ .

Pour $A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right)$ non nulle, évaluer la matrice inverse $A^{-1}$ . Identifier le nombre complexe correspondant.

Complexes et matrices

Signaler une erreur