L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa BCPST 3 questions

exo7 1091

Soit EE un espace vectoriel et φ∈L(E).\varphi \in \mathcal{L} (E) .

1

On suppose que Ker(φ)=Ker(φ2).\hbox{Ker} (\varphi )=\hbox{Ker} (\varphi ^2 ) . Soit p≥1p\geq 1 et x∈Ker(φp).x \in \hbox{Ker}(\varphi ^p) . Montrer que x∈Ker(φp−1).x \in \hbox{Ker}(\varphi ^{p-1}) . En déduire que Ker(φp)=Ker(φ)\hbox{Ker} (\varphi ^p) =\hbox{Ker} (\varphi ) pour tout p≥1.p\geq 1 .

2

Montrer de même que si Ker(φ2)=Ker(φ3)\hbox{Ker} (\varphi ^2)= \hbox{Ker} (\varphi ^3 ) alors Ker(φp)=Ker(φ2)\hbox{Ker} (\varphi ^p) = \hbox{Ker} (\varphi ^2) pour tout p≥2.p\geq 2 .

3

On suppose désormais que φ\varphi est une application linéaire de R3{\Rr}^3 dans lui-même telle que φ2≠0\varphi ^2 \not = 0. Soit x∈R3x\in {\Rr}^3 tel que φ2(x)≠0\varphi ^2(x)\not = 0. Montrer que {x,φ(x),φ2(x)}\{ x , \varphi (x) , \varphi ^2(x)\} est une base de R3{\Rr}^3. Déterminer la matrice de φ\varphi dans cette base.

Exercice 168u

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?