Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
On suppose que \(\hbox{Ker} (\varphi )=\hbox{Ker} (\varphi ^2 ) .\) Soit \(p\geq 1\) et \(x \in \hbox{Ker}(\varphi ^p) .\) Montrer que \(x \in \hbox{Ker}(\varphi ^{p-1}) .\) En déduire que \(\hbox{Ker} (\varphi ^p) =\hbox{Ker} (\varphi )\) pour tout \(p\geq 1 .\)
Montrer de même que si \(\hbox{Ker} (\varphi ^2)= \hbox{Ker} (\varphi ^3 )\) alors \(\hbox{Ker} (\varphi ^p) = \hbox{Ker} (\varphi ^2)\) pour tout \(p\geq 2 .\)
On suppose désormais que \(\varphi\) est une application linéaire de \({\Rr}^3\) dans lui-même telle que \(\varphi ^2 \not = 0\). Soit \(x\in {\Rr}^3\) tel que \(\varphi ^2(x)\not = 0\). Montrer que \(\{ x , \varphi (x) , \varphi ^2(x)\}\) est une base de \({\Rr}^3\). Déterminer la matrice de \(\varphi\) dans cette base.