Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\Rr)\). \(H\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle \(f\).

Pour \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\), posons \(f(M)=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,j}m_{i,j}\) où les \(a_{i,j}\) sont \(n^2\) scalaires indépendants de \(M\) et non tous nuls.

1er cas. Supposons qu’il existe deux indices distincts \(k\) et \(l\) tels que \(a_{k,l}\neq0\). Soit \(M=I_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}}{a_{k,l}}E_{k,l}\). \(M\) est inversible car triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls et \(M\) est dans \(H\) car \(f(M)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}-a_{k,l}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}}{a_{k,l}}=0\).

2ème cas. Si tous les \(a_{k,l}\), \(k\neq l\), sont nuls, \(H\) contient la matrice inversible \(\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\ddots&0\\ 0& & &\ddots&1\\ 1&0&\ldots&\ldots&0 \end{array} \right)\).

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