Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\Rr)$ . $H$ est le noyau d’une forme linéaire non nulle $f$ .

Pour $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ , posons $f(M)=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,j}m_{i,j}$ où les $a_{i,j}$ sont $n^2$ scalaires indépendants de $M$ et non tous nuls.

1er cas. Supposons qu’il existe deux indices distincts $k$ et $l$ tels que $a_{k,l}\neq0$ . Soit $M=I_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}}{a_{k,l}}E_{k,l}$ . $M$ est inversible car triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls et $M$ est dans $H$ car $f(M)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}-a_{k,l}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}}{a_{k,l}}=0$ .

2ème cas. Si tous les $a_{k,l}$ , $k\neq l$ , sont nuls, $H$ contient la matrice inversible $\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\ddots&0\\ 0& & &\ddots&1\\ 1&0&\ldots&\ldots&0 \end{array} \right)$ .

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