L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

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On rappelle qu’une matrice carrée AA d’ordre nn est dite symétrique si ai,j=aj,i,∀ i,ja_{i,j}=a_{j,i}, \forall\, i,j, et antisymétrique si ai,j=−aj,ia_{i,j}=-a_{j,i}.

1

Combien y a-t-il de matrices antisymétriques diagonales ?

2

Montrer que A tAA {\,}^t A est symétrique pour toute matrice carrée AA.

3

Montrer que si A,BA, B sont symétriques, leur produit C=ABC = AB est symétrique si et seulement si AB=BAAB = BA. Que dire si elles sont antisymétriques ? Si l’une est symétrique et l’autre antisymétrique ?

4

Soit PP un polynôme. Montrer que si AA est symétrique, P(A)P(A) l’est aussi. Que dire si AA est antisymétrique ?

Exercice vYQq

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