On rappelle qu’une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite symétrique si \(a_{i,j}=a_{j,i}, \forall\, i,j\), et antisymétrique si \(a_{i,j}=-a_{j,i}\).
1
Combien y a-t-il de matrices antisymétriques diagonales ?
2
Montrer que \(A {\,}^t A\) est symétrique pour toute matrice carrée \(A\).
3
Montrer que si \(A, B\) sont symétriques, leur produit \(C = AB\) est symétrique si et seulement si \(AB = BA\). Que dire si elles sont antisymétriques ? Si l’une est symétrique et l’autre antisymétrique ?
4
Soit \(P\) un polynôme. Montrer que si \(A\) est symétrique, \(P(A)\) l’est aussi. Que dire si \(A\) est antisymétrique ?