Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\) non scalaire telle que \(\mathrm{tr} M = 0\).
1
Montrer qu’il existe une matrice colonne \(X_1\) telle que \(MX_1\) ne soit pas colinéaire à \(X_1\).
2
En déduire que \(M\) est semblable à une matrice \(N = \begin{pmatrix} 0 &\dots \cr \vdots &M_1 \cr \end{pmatrix}\) où \(M_1 \in \mathcal{M}_{n-1}(K)\) et \(\mathrm{tr} M_1 = 0\).
3
Montrer que \(M\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.
4
Montrer qu’il existe \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\) telles que \(M = AB-BA\).