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Montrer qu’il existe une matrice colonne $X_1$ telle que $MX_1$ ne soit pas colinéaire à $X_1$.

En déduire que $M$ est semblable à une matrice $N = \begin{pmatrix} 0 &\dots \cr \vdots &M_1 \cr \end{pmatrix}$ où $M_1 \in \mathcal{M}_{n-1}(K)$ et $\mathrm{tr} M_1 = 0$.

Montrer que $M$ est semblable à une matrice à diagonale nulle.

Montrer qu’il existe $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ telles que $M = AB-BA$.