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Montrer que $E$ est un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une algèbre ?). En déduire que : $$\forall A\in E,\forall n\in \Nn,\exists (a_{n},b_{n})\in {\Rr} ^{2};A^{n}=a_{n}I+b_{n}J$$ et calculer les coefficients $a_{n}$ et $b_{n}.$

Soit $S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{A^{k}}{k!}.$ Calculer $(u_{n},v_{n})$ tel que $S_{n}=u_{n}I+v_{n}J$ en fonction de $a$ et de $b.$ Calculer les limites de $(u_{n})_{n\in \Nn}$ et de $(v_{n})_{n\in \Nn}.$ On pose $e^{A}=uI+vJ$ où $u=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n},$ $v=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }v_{n}.$ Calculer $e^{-A\text{ }}$ et le produit $e^{-A\text{ }}e^{A\text{ }}.$

Application : $$J=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) .$$ Calculer $e^{A}.$