Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et \[E=\{A\in M_{n}({\Rr})|\exists (a,b)\in {\Rr}^{2};A=aI+bJ\}.\]
Montrer que \(E\) est un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une algèbre ?). En déduire que : \[\forall A\in E,\forall n\in \Nn,\exists (a_{n},b_{n})\in {\Rr} ^{2};A^{n}=a_{n}I+b_{n}J\] et calculer les coefficients \(a_{n}\) et \(b_{n}.\)
Soit \(S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{A^{k}}{k!}.\) Calculer \((u_{n},v_{n})\) tel que \(S_{n}=u_{n}I+v_{n}J\) en fonction de \(a\) et de \(b.\) Calculer les limites de \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et de \((v_{n})_{n\in \Nn}.\) On pose \(e^{A}=uI+vJ\) où \(u=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n},\) \(v=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }v_{n}.\) Calculer \(e^{-A\text{ }}\) et le produit \(e^{-A\text{ }}e^{A\text{ }}.\)
Application : \[J=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) .\] Calculer \(e^{A}.\)