Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et \(J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right)\) puis \(E=\{M(x,y)=xI+yJ,\;(x,y)\in\Rr^2\}\).
1
Montrer que \((E,+,.)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\Rr)\). Déterminer une base de \(E\) et sa dimension.
2
Montrer que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif.
3
Quels sont les inversibles de \(E\) ?
4
Résoudre dans \(E\) les équations suivantes :
\[a)\;X^2=I\quad b)\;X^2=0\quad c)\;X^2 = X.\]
5
Calculer \((M(x,y))^n\) pour \(n\) entier naturel non nul.