Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans \(\Rr[X]\) définie en posant pour tout \(P(X)\in \Rr_n[X]\) : \(f(P(X))=P(X+1)+P(X-1)-2P(X).\)
1
Montrer que \(f\) est linéaire et que son image est incluse dans \(\Rr_n[X]\).
2
Dans le cas où \(n=3\), donner la matrice de \(f\) dans la base \(1,X, X^2, X^3\). Déterminer ensuite, pour une valeur de \(n\) quelconque, la matrice de \(f\) dans la base \(1,X,\ldots,X^n\).
3
Déterminer le noyau et l’image de \(f\). Calculer leur dimension respective.
4
Soit \(Q\) un élément de l’image de \(f\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in \Rr_n[X]\) tel que : \(f(P)=Q\) et \(P(0)=P'(0)=0\).