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Montrer que $f$ est linéaire et que son image est incluse dans $\Rr_n[X]$.

Dans le cas où $n=3$, donner la matrice de $f$ dans la base $1,X, X^2, X^3$. Déterminer ensuite, pour une valeur de $n$ quelconque, la matrice de $f$ dans la base $1,X,\ldots,X^n$.

Déterminer le noyau et l’image de $f$. Calculer leur dimension respective.

Soit $Q$ un élément de l’image de $f$. Montrer qu’il existe un unique $P\in \Rr_n[X]$ tel que : $f(P)=Q$ et $P(0)=P'(0)=0$.