L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa BCPST 2 questions

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Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ . On suppose qu’il existe $\lambda,\mu \in K$ et $U,V \in \mathcal{M}_n(K)$ tels que : $\begin{cases} A = \lambda U + \mu V \cr A^2 = \lambda^2U + \mu^2V \cr A^3 = \lambda^3U + \mu^3V.\cr\end{cases}$

Montrer que : $\forall\ p \in \N^*,\ A^p = \lambda^pU + \mu^pV$ (chercher une relation linéaire entre $A$ , $A^2$ , $A^3$ ).

On suppose ici $\lambda \ne \mu$ , $\lambda\ne 0$ et $\mu\ne 0$ . Soit $X$ un vecteur propre de $A$ . Montrer que $X$ est vecteur propre de $U$ et de $V$ avec les valeurs propres $0,0$ ou $1,0$ , ou $0,1$ .