Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) et \(U,V \in \mathcal{M}_n(K)\) tels que : \(\begin{cases} A = \lambda U + \mu V \cr A^2 = \lambda^2U + \mu^2V \cr A^3 = \lambda^3U + \mu^3V.\cr\end{cases}\)
1
Montrer que : \(\forall\ p \in \N^*,\ A^p = \lambda^pU + \mu^pV\) (chercher une relation linéaire entre \(A\), \(A^2\), \(A^3\)).
2
On suppose ici \(\lambda \ne \mu\), \(\lambda\ne 0\) et \(\mu\ne 0\). Soit \(X\) un vecteur propre de \(A\). Montrer que \(X\) est vecteur propre de \(U\) et de \(V\) avec les valeurs propres \(0,0\) ou \(1,0\), ou \(0,1\).