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Montrer que $\hbox{Im } (\varphi ) \subset \hbox {Ker } (\varphi )$. Déduiser-en que $r\leq 3-r$. Calculer $r$.

Soit $e_1\in E$ tel que $\varphi (e_1)\not =0$. Posons $e_2=\varphi (e_1)$. Montrer qu’il existe $e_3\in \hbox {Ker } (\varphi )$ tel que la famille $\{ e_2 , e_3\}$ soit libre. Montrer que $\{ e_1 , e_2 , e_3\}$ est une base de $E$.

Déterminer la matrice de $\varphi$ dans la base $\{ e_1 , e_2 , e_3\}$.