Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et \(\varphi\) une application linéaire de \(E\) dans \(E\) telle que \(\varphi ^2=0\) et \(\varphi \not =0\). Posons \(r= \hbox{rg} (\varphi )\).
1
Montrer que \(\hbox{Im } (\varphi ) \subset \hbox {Ker } (\varphi )\). Déduiser-en que \(r\leq 3-r\). Calculer \(r\).
2
Soit \(e_1\in E\) tel que \(\varphi (e_1)\not =0\). Posons \(e_2=\varphi (e_1)\). Montrer qu’il existe \(e_3\in \hbox {Ker } (\varphi )\) tel que la famille \(\{ e_2 , e_3\}\) soit libre. Montrer que \(\{ e_1 , e_2 , e_3\}\) est une base de \(E\).
3
Déterminer la matrice de \(\varphi\) dans la base \(\{ e_1 , e_2 , e_3\}\).