Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans \(\mathcal{M}_{2}(K)\) : \(X^2 + X = A\).
Soit \(X\) une solution et \(\phi_A\), \(\phi_X\) les endomorphismes de \(K^2\) de matrices \(A\) et \(X\) dans la base canonique.
1
Montrer que \(X\) ou \(X+I\) n’est pas inversible.
2
Si \(X\) n’est pas inversible, montrer que \(X\) est proportionnelle à \(A\) (on montrera que \(\mathrm{Ker}\phi_X = \mathrm{Ker}\phi_A\) et \(\Im\phi_X = \Im\phi_A\)).
3
Résoudre l’équation.