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Soit $A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}$ . On veut résoudre l’équation dans $\mathcal{M}_{2}(K)$ : $X^2 + X = A$ .

Soit $X$ une solution et $\phi_A$ , $\phi_X$ les endomorphismes de $K^2$ de matrices $A$ et $X$ dans la base canonique.

Montrer que $X$ ou $X+I$ n’est pas inversible.

Si $X$ n’est pas inversible, montrer que $X$ est proportionnelle à $A$ (on montrera que $\mathrm{Ker}\phi_X = \mathrm{Ker}\phi_A$ et $\Im\phi_X = \Im\phi_A$ ).

Résoudre l’équation.

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