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Soit $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carrée $n\times n$ . On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons que pour tout $i\in\{1,\cdots,n\}$ , on ait $|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|$ alors $A$ est inversible.

Montrer le résultat pour $n=2$ .

Soit $B$ , la matrice obtenue en remplaçant, pour $j\geq 2$ , chaque colonne $c_j$ de $A$ par la colonne $c_j-{\frac{a_{1j}}{a_{11}}}c_1 ,$ Calculer les $b_{ij}$ en fonction des $a_{ij}$ . Montrer que si les coefficients de $A$ satisfont les inégalités ci-dessus, alors pour $i\geq 2$ , on a $|b_{ii}|>\sum_{j=2,j\neq i}^{n}|b_{ij}| .$

Démontrer le résultat de Hadamard pour $n$ quelconque.

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