Soit \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) une matrice carrée \(n\times n\). On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons que pour tout \(i\in\{1,\cdots,n\}\), on ait \[|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|\] alors \(A\) est inversible.
1
Montrer le résultat pour \(n=2\).
2
Soit \(B\), la matrice obtenue en remplaçant, pour \(j\geq 2\), chaque colonne \(c_j\) de \(A\) par la colonne \[c_j-{\frac{a_{1j}}{a_{11}}}c_1 ,\] Calculer les \(b_{ij}\) en fonction des \(a_{ij}\). Montrer que si les coefficients de \(A\) satisfont les inégalités ci-dessus, alors pour \(i\geq 2\), on a \[|b_{ii}|>\sum_{j=2,j\neq i}^{n}|b_{ij}| .\]
3
Démontrer le résultat de Hadamard pour \(n\) quelconque.