Soit $(i,j)$ la base canonique de $\Rr^2$ et $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\Rr^3$ . On cherche $f\in\mathcal{L}(\Rr^2,\Rr^3)$ et $g\in\mathcal{L}(\Rr^3,\Rr^2)$ tels que

$f\circ g(e_1)=-e_2+e_3,\;f\circ g(e_2)=-e_1+e_3\;\mbox{et}\;f\circ g(e_3)=-e_1-e_2+2e_3(=f\circ g(e_1+e_2)).$

On pose $g(e_1)=i$ , $g(e_2)=j$ et $g(e_3)=i+j$ , puis $f(i)=-e_2+e_3$ et $f(j)=-e_1+e_3$ . Les applications linéaires $f$ et $g$ conviennent, ou encore si on pose

$A=\left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ -1&0\\ 1&1 \end{array} \right)\;\mbox{et}\;B=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{array} \right),$

alors $AB=\left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ -1&0\\ 1&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)$ .

$A$ et $B$ désignent maintenant deux matrices quelconques, éléments de $\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)$ et $\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)$ respectivement, telles que $AB=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)$ . Calculons $(AB)^2$ . On obtient

$(AB)^2=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)=AB.$

Mais alors, en multipliant les deux membres de cette égalité par $B$ à gauche et $A$ à droite, on obtient

$(BA)^3=(BA)^2\;(*).$

Notons alors que

$\mbox{rg}(BA)\geq\mbox{rg}(ABAB)=\mbox{rg}((AB)^2)=\mbox{rg}(AB)=2,$

et donc, $BA$ étant une matrice carrée de format $2$ , $\mbox{rg}(BA)=2$ . $BA$ est donc une matrice inversible. Par suite, on peut simplifier les deux membres de l’égalité $(*)$ par $(BA)^2$ et on obtient $BA=I_2$ .

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