Soit \((i,j)\) la base canonique de \(\Rr^2\) et \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\Rr^3\). On cherche \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2,\Rr^3)\) et \(g\in\mathcal{L}(\Rr^3,\Rr^2)\) tels que

\[f\circ g(e_1)=-e_2+e_3,\;f\circ g(e_2)=-e_1+e_3\;\mbox{et}\;f\circ g(e_3)=-e_1-e_2+2e_3(=f\circ g(e_1+e_2)).\]

On pose \(g(e_1)=i\), \(g(e_2)=j\) et \(g(e_3)=i+j\), puis \(f(i)=-e_2+e_3\) et \(f(j)=-e_1+e_3\). Les applications linéaires \(f\) et \(g\) conviennent, ou encore si on pose

\[A=\left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ -1&0\\ 1&1 \end{array} \right)\;\mbox{et}\;B=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{array} \right),\]

alors \(AB=\left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ -1&0\\ 1&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)\).

\(A\) et \(B\) désignent maintenant deux matrices quelconques, éléments de \(\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) respectivement, telles que \(AB=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)\). Calculons \((AB)^2\). On obtient

\[(AB)^2=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right)=AB.\]

Mais alors, en multipliant les deux membres de cette égalité par \(B\) à gauche et \(A\) à droite, on obtient

\[(BA)^3=(BA)^2\;(*).\]

Notons alors que

\[\mbox{rg}(BA)\geq\mbox{rg}(ABAB)=\mbox{rg}((AB)^2)=\mbox{rg}(AB)=2,\]

et donc, \(BA\) étant une matrice carrée de format \(2\), \(\mbox{rg}(BA)=2\). \(BA\) est donc une matrice inversible. Par suite, on peut simplifier les deux membres de l’égalité \((*)\) par \((BA)^2\) et on obtient \(BA=I_2\).

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