L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

Puissance d'une matrice à paramètres

Soit la matrice de Mα,β=(α0−12αβ−3−β−1α)∈M3(R)M_{\alpha,\beta} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & -1 \\ 2 & \alpha & \beta\\ -3-\beta & -1 & \alpha \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\R).

1

Montrer que pour tout α,β\alpha,\beta on a det⁡(Mα,β)=P(α)\det(M_{\alpha,\beta})=P(\alpha) où PP est un polynôme de degré 3 à préciser, ne dépendant pas de β\beta.

2

Vérifier que 11 est racine de PP.

3

Déterminer l’ensemble des valeurs de α,β\alpha,\beta pour lesquelles la matrice Mα,βM_{\alpha,\beta} n’est pas inversible.

4

Démontrer que M1,β=Mα,β−(α−1)I3M_{1,\beta}=M_{\alpha,\beta}-(\alpha-1)I_3 où I3I_{3} est la matrice identité de M3(R)\mathcal{M}_{3}(\R).

5

Démontrer que pour tout β∈R, (M1,β)3=3(M1,β)2.\beta \in \R,\,(M_{1,\beta})^{3}=3(M_{1,\beta})^{2}.

Exercice gAMY

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