Soit la matrice de \(M_{\alpha,\beta} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & -1 \\ 2 & \alpha & \beta\\ -3-\beta & -1 & \alpha \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
1
Montrer que pour tout \(\alpha,\beta\) on a \(\det(M_{\alpha,\beta})=P(\alpha)\) où \(P\) est un polynôme de degré 3 à préciser, ne dépendant pas de \(\beta\).
2
Vérifier que \(1\) est racine de \(P\).
3
Déterminer l’ensemble des valeurs de \(\alpha,\beta\) pour lesquelles la matrice \(M_{\alpha,\beta}\) n’est pas inversible.
4
Démontrer que \(M_{1,\beta}=M_{\alpha,\beta}-(\alpha-1)I_3\) où \(I_{3}\) est la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\R)\).
5
Démontrer que pour tout \(\beta \in \R,\,(M_{1,\beta})^{3}=3(M_{1,\beta})^{2}.\)