Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : \(\forall\ i,j,\ a_{ij} > 0\). On munit \(\mathcal{M}_{n,1}(\R)\) de la relation d’ordre : \[(X \ge Y) \iff (\forall\ i,\ x_i \ge y_i),\] et on pose pour \(X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\), \(X \ge 0\), \(X\ne 0\) : \[\left\{ \begin{array}{lll} R(X) &=& \text{sup}\{ r \ge 0 \text{ tq } AX \ge rX \}, \cr \hfil R &=& \text{sup}\{R(X) \text{ tq } X \ge 0, X \ne 0 \}. \cr \end{array}\right.\]
Montrer que \(R\) est fini et qu’il existe \(X_0 \in \R^n\) tel que \(R(X_0) = R\).
Montrer que toutes les coordonnées de \(X_0\) sont strictement positives.
On pose \(AX_0 = RX_0 + Y\). Montrer que \(Y = 0\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(A\). Montrer que \(|\lambda| \le R\), et \((|\lambda| = R) \Leftrightarrow (\lambda = R)\).