\(A= \left( \begin{array}{cccccc} 1&2&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&1&3&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&n-1\\ 0&\ldots& &\ldots&0&1 \end{array} \right)= I + N\) où \(N=\left( \begin{array}{cccccc} 0&2&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&0&3&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&n-1\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)\).

\(N\) est nilpotente et donc \(N^n = 0\). Par suite,

\(I=I-(-N)^n=(I+N)(I -N + ... +(-N)^{n-1})\).

Ainsi \(A\) est inversible à gauche et donc inversible, d’inverse \(I -N + ... +(-N)^{n-1}\).

Calcul de \(N^p\) pour \(1\leqslant p\leqslant n\).

\(N^2 =\left(\sum_{j=2}^{n}jE_{j-1,j}\right)^2=\sum_{2\leqslant j,k\leqslant n}^{}jkE_{j-1,j}E_{k-1,k}=\sum_{j=2}^{n-1}j(j+1)E_{j-1,j}E_{j,j+1}=\sum_{j=3}^{n}j(j-1)jE_{j-2,j}\).

c’est-à-dire \(N^2=\left( \begin{array}{cccccc} 0&0&2\times3&0&\ldots&0\\ \vdots& &\ddots&3\times4&\ddots&\vdots\\ & & &\ddots&\ddots&0\\ & & & &\ddots&(n-1)n\\ \vdots& & & & &0\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)\).

Ensuite, \(N^3=\left(\sum_{j=3}^{n}(j-1)jE_{j-2,j}\right)\left(\sum_{k=2}^{n}kE_{k-1,k}\right)) =\sum_{j=4}^{n}j(j-1)(j-2)E_{j-3,j}\).

Supposons que pour \(p\) donné dans \(\llbracket1,n-1\rrbracket\), \(N^p=\sum_{j=p+1}^{n}j(j-1)...(j-p+1)E_{j-p,j}\).

Alors \(N^{p+1}=\left(\sum_{j=p+1}^{n}j(j-1)...(j-p+1)E_{j-p,j}\right)\left(\sum_{k=2}^{n}kE_{k-1,k}\right)=\sum_{j=p+2}^{n}j(j-1)...(j-p)E_{j-p-1,j}\). Ainsi

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