$A= \left( \begin{array}{cccccc} 1&2&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&1&3&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&n-1\\ 0&\ldots& &\ldots&0&1 \end{array} \right)= I + N$ où $N=\left( \begin{array}{cccccc} 0&2&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&0&3&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&n-1\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)$ .

$N$ est nilpotente et donc $N^n = 0$ . Par suite,

$I=I-(-N)^n=(I+N)(I -N + ... +(-N)^{n-1})$ .

Ainsi $A$ est inversible à gauche et donc inversible, d’inverse $I -N + ... +(-N)^{n-1}$ .

Calcul de $N^p$ pour $1\leqslant p\leqslant n$ .

$N^2 =\left(\sum_{j=2}^{n}jE_{j-1,j}\right)^2=\sum_{2\leqslant j,k\leqslant n}^{}jkE_{j-1,j}E_{k-1,k}=\sum_{j=2}^{n-1}j(j+1)E_{j-1,j}E_{j,j+1}=\sum_{j=3}^{n}j(j-1)jE_{j-2,j}$ .

c’est-à-dire $N^2=\left( \begin{array}{cccccc} 0&0&2\times3&0&\ldots&0\\ \vdots& &\ddots&3\times4&\ddots&\vdots\\ & & &\ddots&\ddots&0\\ & & & &\ddots&(n-1)n\\ \vdots& & & & &0\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)$ .

Ensuite, $N^3=\left(\sum_{j=3}^{n}(j-1)jE_{j-2,j}\right)\left(\sum_{k=2}^{n}kE_{k-1,k}\right)) =\sum_{j=4}^{n}j(j-1)(j-2)E_{j-3,j}$ .

Supposons que pour $p$ donné dans $\llbracket1,n-1\rrbracket$ , $N^p=\sum_{j=p+1}^{n}j(j-1)...(j-p+1)E_{j-p,j}$ .

Alors $N^{p+1}=\left(\sum_{j=p+1}^{n}j(j-1)...(j-p+1)E_{j-p,j}\right)\left(\sum_{k=2}^{n}kE_{k-1,k}\right)=\sum_{j=p+2}^{n}j(j-1)...(j-p)E_{j-p-1,j}$ . Ainsi

$A^{-1}= (a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $a_{i,j}= 0$ si $i > j$ , $1$ si $i = j$ et $(-1)^{i+j-2}\prod_{k=0}^{j-i-1}(j-k)$ sinon.

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