Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles de format \(n\) semblables dans \(\mathcal{M}_n(\Cc)\).

Il existe \(P\) élément de \(\mathcal{GL}_n(\Cc)\) telle que \(PB =AP\) (bien plus manipulable que \(B=P^{-1}AP\)).

Posons \(P=Q+iR\) où \(Q\) et \(R\) sont des matrices réelles. Par identification des parties réelles et imaginaires, on a \(QB=AQ\) et \(RB=AR\) mais cet exercice n’en est pas pour autant achevé car \(Q\) ou \(R\) n’ont aucune raison d’être inversibles.

On a \(QB=AQ\) et \(RB= AR\) et donc plus généralement pour tout réel \(x\), \((Q+xR)B=A(Q+xR)\).

Maintenant, \(\text{det}(Q+xR)\) est un polynôme à coefficients réels en \(x\) mais n’est pas le polynôme nul car sa valeur en \(i\) (tel que \(i^2 = -1\)) est \(\text{det}P\) qui est non nul. Donc il n’existe qu’un nombre fini de réels \(x\), éventuellement nul, tels que \(\text{det}(Q+xR) = 0\). En particulier, il existe au moins un réel \(x_0\) tel que la matrice \(P_0=Q+x_0R\) soit inversible. \(P_0\) est une matrice réelle inversible telle que \(P_0A=BP_0\) et \(A\) et \(B\) sont bien semblables dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).

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