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Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\) nilpotente, on définit : \[\exp A=\sum_{i\geq 0}\frac{A^{i}}{i!},\] la somme étant finie et s’arrêtant par exemple au premier indice \(i\) tel que \(A^{i}=0.\) Montrer que si \(A\) et \(B\) sont nilpotentes et commutent, alors \(\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B).\) En déduire que \(\exp(A)\) est toujours inversible et calculer son inverse.