L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1095

Soit (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3) une base de l’espace EE à trois dimensions sur un corps KK. IEI_E désigne l’application identique de EE. On considère l’application linéaire ff de EE dans EE telle que : f(e1)=2e2+3e3,f(e2)=2e1−5e2−8e3,f(e3)=−e1+4e2+6e3.f(e_1)= 2e_2+3e_3, \quad f(e_2)=2e_1-5e_2-8e_3, \quad f(e_3)=-e_1+4e_2+6e_3.

1

Étudier le sous-espace ker⁡(f−IE)\ker(f-I_E) : dimension, base.

2

Étudier le sous-espace ker⁡(f2+IE)\ker(f^2+I_E) : dimension, base.

3

Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de EE. Quelle est la matrice de ff dans cette nouvelle base ? et celle de f2f^2 ?

Exercice IW2y

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