Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps \(K\). \(I_E\) désigne l’application identique de \(E\). On considère l’application linéaire \(f\) de \(E\) dans \(E\) telle que : \[f(e_1)= 2e_2+3e_3, \quad f(e_2)=2e_1-5e_2-8e_3, \quad f(e_3)=-e_1+4e_2+6e_3.\]
1
Étudier le sous-espace \(\ker(f-I_E)\) : dimension, base.
2
Étudier le sous-espace \(\ker(f^2+I_E)\) : dimension, base.
3
Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de \(E\). Quelle est la matrice de \(f\) dans cette nouvelle base ? et celle de \(f^2\) ?