Nous associons à la matrice $A$ son application linéaire naturelle $f$ . Si $\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ est la base canonique de $\Rr^n$ alors $f(e_1)$ est donné par le premier vecteur colonne, $f(e_2)$ par le deuxième, etc. Donc ici $f(e_1)=\begin{pmatrix}0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=e_n, \ f(e_2)= \begin{pmatrix}0\\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}=e_{n-1},... \quad \text{ et en général } f(e_i) = e_{n+1-i}$ Calculons ce que vaut la composition $f\circ f$ . Comme une application linéaire est déterminée par les images des éléments d’une base alors on calcule $f\circ f(e_i)$ , $i=1,\ldots,n$ en appliquant deux fois la formule précédente : $f\circ f(e_i) = f\big( f(e_i) \big) = f(e_{n+1-i})=e_{n+1-(n+1-i)}=e_i$ Comme $f\circ f$ laisse invariant tous les vecteurs de la base alors $f\circ f (x)=x$ pour tout $x\in \Rr^n$ . Donc $f\circ f=\mathrm{id}$ .

On en déduit $f^{-1}=f$ et que la composition itérée vérifie $f^{p}=\mathrm{id}$ si $p$ est pair et $f^{p}=f$ si $p$ est impair. Conclusion : $A^p=I$ si $p$ est pair et $A^p=A$ si $p$ est impair.

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