Soit \(\varphi\) un tel morphisme. Alors pour toute matrice \(M\in GL_n(\R)\) on a \(\dot 0 = p\varphi(M) = \varphi(M^p)\), donc \(\varphi\) s’annule sur toute matrice qui est une puissance \(p\)-ème. Notons \(P(i,j,\alpha)\) la matrice de l’opération élémentaire \(L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j\), qui est aussi la matrice de l’opération élémentaire \(C_j \leftarrow C_j + \alpha C_i\). Toute matrice \(M\in GL_n(\R)\) peut être transformée, à l’aide de ces seules opérations élémentaires, en une matrice \(M' = \mathrm{diag}(1,\dots,1,\det(M))\) par une adaptation de l’algorithme de Gauss. Comme \(P(i,j,\alpha) = P(i,j,\alpha/p)^p\) et \(\det(M) = \pm(|\det(M)|^{1/p})^p\), on obtient : \(\varphi(M) = \dot 0\) si \(\det(M) > 0\) et \(\varphi(M) = \varphi(\mathrm{diag}(1,\dots,1,-1)) = x\) si \(\det(M) < 0\). Réciproquement, la fonction \(\varphi\) ainsi définie est effectivement un morphisme de groupe si et seulement si \(2x = \dot 0\), soit \(x=\dot 0\) pour \(p\) impair, et \(x\in\{\dot 0,\dot q\}\) pour \(p=2q\).

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