Soit $\varphi$ un tel morphisme. Alors pour toute matrice $M\in GL_n(\R)$ on a $\dot 0 = p\varphi(M) = \varphi(M^p)$ , donc $\varphi$ s’annule sur toute matrice qui est une puissance $p$ -ème. Notons $P(i,j,\alpha)$ la matrice de l’opération élémentaire $L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j$ , qui est aussi la matrice de l’opération élémentaire $C_j \leftarrow C_j + \alpha C_i$ . Toute matrice $M\in GL_n(\R)$ peut être transformée, à l’aide de ces seules opérations élémentaires, en une matrice $M' = \mathrm{diag}(1,\dots,1,\det(M))$ par une adaptation de l’algorithme de Gauss. Comme $P(i,j,\alpha) = P(i,j,\alpha/p)^p$ et $\det(M) = \pm(|\det(M)|^{1/p})^p$ , on obtient : $\varphi(M) = \dot 0$ si $\det(M) > 0$ et $\varphi(M) = \varphi(\mathrm{diag}(1,\dots,1,-1)) = x$ si $\det(M) < 0$ . Réciproquement, la fonction $\varphi$ ainsi définie est effectivement un morphisme de groupe si et seulement si $2x = \dot 0$ , soit $x=\dot 0$ pour $p$ impair, et $x\in\{\dot 0,\dot q\}$ pour $p=2q$ .

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