Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et \(J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right)\). Soit \(E=\{M(x,y)=xI+yJ,\;(x,y)\in\Rr^2\}\).
1
Montrer que \((E,+,.)\) est un \(\Rr\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.
2
Montrer que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif.
3
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((E,+,\times)\) ?
4
Résoudre dans \(E\) les équations :
5
\(X^2=I\)
6
\(X^2=0\)
7
\(X^2=X\).