L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 7 questions

exo7 5608

Soient I=(1001)I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right) et J=(1101)J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right). Soit E={M(x,y)=xI+yJ,  (x,y)∈R2}E=\{M(x,y)=xI+yJ,\;(x,y)\in\Rr^2\}.

1

Montrer que (E,+,.)(E,+,.) est un R\Rr-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2

Montrer que (E,+,×)(E,+,\times) est un anneau commutatif.

3

Quels sont les éléments inversibles de l’anneau (E,+,×)(E,+,\times) ?

4

Résoudre dans EE les équations :

5

X2=IX^2=I

6

X2=0X^2=0

7

X2=XX^2=X.

Exercice 73LF

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