Montrons que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3({\R})\). Soient \(M= \begin{pmatrix} a & 0 & c \cr 0 & b & 0 \cr c & 0 & a \cr \end{pmatrix}\) et \(M'= \begin{pmatrix} a' & 0 & c' \cr 0 & b' & 0 \cr c' & 0 & a' \cr \end{pmatrix}\) deux éléments de \(E\). Alors \(M+M'=\begin{pmatrix} a +a' & 0 & c+c' \cr 0 & b+b' & 0 \cr c+c' & 0 & a+a' \cr \end{pmatrix} \in E\). Pour tout \(\lambda \in {\R}\) \(\lambda M= \begin{pmatrix} \lambda a & 0 & \lambda c \cr 0 & \lambda b & 0 \cr \lambda c & 0 & \lambda a \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(E\), tout comme la matrice \(0\). Donc \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3({\R})\).

Soit \(M= \begin{pmatrix} a & 0 & c \cr 0 & b & 0 \cr c & 0 & a \cr \end{pmatrix}\) un élément de \(E\). Alors \(M= a\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}+c \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Posons \(M_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} , M_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} , M_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Les matrices \(M_1 , M_2\) et \(M_3\) appartiennent à \(E\) et la relation qui précéde montre que elles engendrent \(E\). D’autre part, si \(\alpha M_1 + \beta M_2 + \gamma M_3 =0\), alors \(\begin{pmatrix} \alpha & 0 & \gamma \cr 0 & \beta & 0 \cr \gamma & 0 & \alpha \cr \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}\) donc \(\alpha = \beta =\gamma =0\). La famille \(\{ M_1 , M_2 , M_3 \}\) est libre et engendre \(E\). C’est une base de \(E\).

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