Montrons que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_3({\R})$ . Soient $M= \begin{pmatrix} a & 0 & c \cr 0 & b & 0 \cr c & 0 & a \cr \end{pmatrix}$ et $M'= \begin{pmatrix} a' & 0 & c' \cr 0 & b' & 0 \cr c' & 0 & a' \cr \end{pmatrix}$ deux éléments de $E$ . Alors $M+M'=\begin{pmatrix} a +a' & 0 & c+c' \cr 0 & b+b' & 0 \cr c+c' & 0 & a+a' \cr \end{pmatrix} \in E$ . Pour tout $\lambda \in {\R}$ $\lambda M= \begin{pmatrix} \lambda a & 0 & \lambda c \cr 0 & \lambda b & 0 \cr \lambda c & 0 & \lambda a \cr \end{pmatrix}$ appartient à $E$ , tout comme la matrice $0$ . Donc $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_3({\R})$ .

Soit $M= \begin{pmatrix} a & 0 & c \cr 0 & b & 0 \cr c & 0 & a \cr \end{pmatrix}$ un élément de $E$ . Alors $M= a\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}+c \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}$ . Posons $M_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} , M_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} , M_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}$ . Les matrices $M_1 , M_2$ et $M_3$ appartiennent à $E$ et la relation qui précéde montre que elles engendrent $E$ . D’autre part, si $\alpha M_1 + \beta M_2 + \gamma M_3 =0$ , alors $\begin{pmatrix} \alpha & 0 & \gamma \cr 0 & \beta & 0 \cr \gamma & 0 & \alpha \cr \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}$ donc $\alpha = \beta =\gamma =0$ . La famille $\{ M_1 , M_2 , M_3 \}$ est libre et engendre $E$ . C’est une base de $E$ .

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