Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) ; on suppose que \(A^{2}\) est une combinaison linéaire de \(A\) et \(I_{n}\) : \(A^{2}=\alpha A+\beta I_{n}.\)
Montrer que \(A^{n}\) est également une combinaison linéaire de
\(A\) et \(I_{n}\) pour tout \(n\in \Nn^{\ast }.\)
Montrer que si \(\beta\) est non nul, alors \(A\) est inversible et que \(A^{-1}\) est encore combinaison linéaire de \(A\) et \(I_{n}.\)
Application 1 : soit \(A=J_{n}-I_{n},\) où \(J_{n}\) est la matrice
Attila (envahie par les uns...), avec \(n\geq 1\). Montrer que \(A^{2}=\left( n-2\right) A+\left( n-1\right) I_{n}\) ; en déduire que \(A\)
est inversible, et déterminer son inverse.
Application 2 : montrer que si \(n=2\), \(A^{2}\) est toujours une combinaison linéaire de \(A\) et \(I_{2},\) et retrouver la formule donnant \(A^{-1}\) en utilisant 2.