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Montrer que $A^{n}$ est également une combinaison linéaire de $A$ et $I_{n}$ pour tout $n\in \Nn^{\ast }.$

Montrer que si $\beta$ est non nul, alors $A$ est inversible et que $A^{-1}$ est encore combinaison linéaire de $A$ et $I_{n}.$

Application 1 : soit $A=J_{n}-I_{n},$ où $J_{n}$ est la matrice Attila (envahie par les uns...), avec $n\geq 1$. Montrer que $A^{2}=\left( n-2\right) A+\left( n-1\right) I_{n}$ ; en déduire que $A$ est inversible, et déterminer son inverse.

Application 2 : montrer que si $n=2$, $A^{2}$ est toujours une combinaison linéaire de $A$ et $I_{2},$ et retrouver la formule donnant $A^{-1}$ en utilisant 2.