On note $r$ le rang de $A$ . Si $r=0$ , $A$ est nulle et donc $B$ est nulle.

Sinon, il existe deux matrices carrées inversibles $P$ et $Q$ de format $n$ telles que $A=PJ_rQ$ où $J_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)$ . Soient $P'=\left( \begin{array}{cccc} P&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&P \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{np}(\Cc)$ et $Q'=\left( \begin{array}{cccc} P&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&Q \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{np}(\Cc)$ . Puisque $\text{det}(P')=(\text{det}(P))^p\neq0$ et $\text{det}(Q')=(\text{det}(Q))^p\neq0$ , les matrices $P'$ et $Q'$ sont inversibles. De plus, un calcul par blocs montre que

$B=\left( \begin{array}{cccc} PJ_rQ&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&PJ_rQ \end{array} \right)=P'J_r'Q'$ où $J_r'=\left( \begin{array}{cccc} J_r&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&J_r \end{array} \right)$ .

La matrice $B$ est équivalente a la matrice $J_r'$ et a donc même rang que $J_r'$ . Enfin, en supprimant les lignes nulles et les colonnes nulles, on voit que la matrice $J_r'$ a même rang que la matrice $I_{pr}$ à savoir $pr$ . Dans tous les cas, on a montré que

$\text{rg}B =p\text{rg}A$ .

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