Soient $k$ et $l$ deux entiers tels que $1\leq k\leq n$ et $1\leq l\leq n$ . Le coefficient ligne $k$ , colonne $l$ de $A\overline{A}$ vaut :

$\sum_{j=1}^{n}\omega^{(k-1)(j-1)}\omega^{-(j-1)(l-1)}=\sum_{j=1}^{n}(\omega^{k-l})^{j-1}.$

1er cas. Si $k=l$ , $\omega^{k-l}=1$ , et le coefficient vaut $\sum_{j=1}^{n}1=n$ .
2ème cas. Si $k\neq l$ . On a $-(n-1)\leq k-l\leq n-1$ avec $k-l\neq0$ et donc, $k-l$ n’est pas multiple de $n$ . Par suite, $\omega^{k-l}\neq1$ et

$\sum_{j=1}^{n}(\omega^{k-l})^{j-1}=\frac{1-(\omega^{k-l})^n}{1-\omega}=\frac{1-1^{k-l}}{1-\omega}=0.$

En résumé, $A\overline{A}=nI_n$ . Donc $A$ est inversible à gauche et donc inversible et $A^{-1}=\frac{1}{n}\overline{A}$ .

exo7 5274