1
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que \(M \in GL_n(\Z)\) si et seulement si \(|\det M| = 1\).
2
Soit \(X = \begin{pmatrix} x_1 \cr \vdots \cr x_n \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\Z)\) et \(d\) le pgcd de \(x_1, \dots, x_n\). Montrer qu’il existe \(A \in GL_n(\Z)\) telle que \(AX = \begin{pmatrix}d \cr 0\cr \vdots \cr 0 \cr \end{pmatrix}\) (par récurrence sur \(n\)).
3
Soient \(X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\Z)\). CNS pour qu’il existe \(A \in GL_n(\Z)\) telle que \(AX = Y\) ?