Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \({\cal C}_A = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } AM = MA \}\) (commutant de \(A\)).
1
Montrer que \({\cal C}_A\) est une sous-algèbre de \(\mathcal{M}_n(K)\).
2
Soit \(A = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)\) une matrice diagonale dont tous les \(\lambda_i\) sont distincts.
3
Chercher \({\cal C}_A\).
4
Soit \(\phi : {\mathcal{M}_n(K)} \to {\mathcal{M}_n(K)}, M \mapsto {MA-AM}\)
Montrer que \(\Im \phi\) est l’ensemble des matrices à diagonale nulle.