On inverse \(A\) en l’interprétant comme une matrice de passage.

Soit \(\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)\) la base canonique de \(\Rr^n\) et \((e_1',...,e_n)\) la famille de vecteurs de \(\Rr^n\) de matrice \(A\) dans la base \(\mathcal{B}\).

\(A\;\text{inversible}\Leftrightarrow(e_1',...,e_n')\;\text{base de}\;E\Leftrightarrow\text{Vect}(e_1,...,e_n)\subset\text{Vect}(e_1',...,e_n')\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;e_i\in\text{Vect}(e_1',...,e_n')\).

Dans ce cas, \(A^{-1}\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}'\) à \(\mathcal{B}\).

Soit \(u = e_1 + ... + e_n\). Pour tout \(i\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(e_i'=a_ie_i + u\) ce qui fournit \(e_i =\frac{1}{a_i}(e_i'-u)\).

En additionnant membre à membre ces \(n\) égalités, on obtient \(u=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'-\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right)u\) et donc \(\lambda u=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'\) où \(\lambda=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\).

1er cas. Si \(\lambda\neq0\), on peut exprimer \(u\) en fonction des \(e_i'\), \(1\leqslant i\leqslant n\), et donc les \(e_i\) fonction des \(e_i'\). Dans ce cas \(A\) est inversible. Plus précisément, \(u=\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'\) puis, \(\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(e_i =\frac{1}{a_i}\left(e_i'-\frac{1}{\lambda}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}e_j'\right)\) et enfin

\(A^{-1}=\left( \begin{array}{ccccc} \frac{1}{a_1}-\frac{1}{\lambda a_1^2}&-\frac{1}{\lambda a_2a_1}&\ldots&\ldots&-\frac{1}{\lambda a_na_1}\\ -\frac{1}{\lambda a_1a_2}&\frac{1}{a_2}-\frac{1}{\lambda a_2^2}& & &\vdots\\ \vdots&-\frac{1}{\lambda a_2a_3}&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\vdots& &\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{\lambda a_{n-1}^2}&-\frac{1}{\lambda a_na_{n-1}}\\ -\frac{1}{\lambda a_1a_n}&-\frac{1}{\lambda a_2a_n}&\ldots&-\frac{1}{\lambda a_na_{n-1}}&\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\lambda a_n^2} \end{array} \right)\) où \(\lambda=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\).

2ème cas. Si \(\lambda=0\), on a \(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'=0\) ce qui montre que la famille \((e_i')_{1\leqslant i\leqslant n}\) est liée et donc que \(A\) n’est pas inversible.

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