Soient $x$ et $y$ deux réels.

$\begin{align*}\ensuremath A(x)A(y)&=\left( \begin{array}{cc} \ch x&\sh x\\ \sh x&\ch x \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \ch y&\sh y\\ \sh y&\ch y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch x\ch y+\sh x\sh y&\sh x\ch y+\ch x\sh y\\ \sh x\ch y+\ch x\sh y&\ch x\ch y+\sh x\sh y \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} \ch(x+y)&\sh(x+y)\\ \sh(x+y)&\ch(x+y) \end{array} \right). \end{align*}$

En particulier,

$A(x)A(-x)=A(-x)A(x)=A(0)=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)=I_2,$

et $A(x)$ est inversible d’inverse $A(-x)$ .

On a aussi, pour $n$ entier naturel non nul donné :

$(A(x))^n=A(x)A(x)...A(x)=A(x+x...+x)=A(nx),$

ce qui reste clair pour $n=0$ car $A(x)^0=I_2=A(0)$ . Enfin, $(A(x))^{-n}=(A(x)^{-1})^n=A(-x)^n=A(-nx)$ . Finalement,

$\forall n\in\Zz,\;(A(x))^n=A(nx)=\left( \begin{array}{cc} \ch(nx)&\sh(nx)\\ \sh(nx)&\ch(nx) \end{array} \right).$

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