Soient \(x\) et \(y\) deux réels.

\[\begin{align*}\ensuremath A(x)A(y)&=\left( \begin{array}{cc} \ch x&\sh x\\ \sh x&\ch x \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \ch y&\sh y\\ \sh y&\ch y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch x\ch y+\sh x\sh y&\sh x\ch y+\ch x\sh y\\ \sh x\ch y+\ch x\sh y&\ch x\ch y+\sh x\sh y \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} \ch(x+y)&\sh(x+y)\\ \sh(x+y)&\ch(x+y) \end{array} \right). \end{align*}\]

En particulier,

\[A(x)A(-x)=A(-x)A(x)=A(0)=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)=I_2,\]

et \(A(x)\) est inversible d’inverse \(A(-x)\).

On a aussi, pour \(n\) entier naturel non nul donné :

\[(A(x))^n=A(x)A(x)...A(x)=A(x+x...+x)=A(nx),\]

ce qui reste clair pour \(n=0\) car \(A(x)^0=I_2=A(0)\). Enfin, \((A(x))^{-n}=(A(x)^{-1})^n=A(-x)^n=A(-nx)\). Finalement,

\[\forall n\in\Zz,\;(A(x))^n=A(nx)=\left( \begin{array}{cc} \ch(nx)&\sh(nx)\\ \sh(nx)&\ch(nx) \end{array} \right).\]

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