Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(A^k = I\ (k \ne 0)\). On pose \(B = I + A + A^2 + \dots + A^{k-1}\). Soient \(u,v\) les endomorphismes de \(K^n\) matrices \(A\) et \(B\) dans la base canonique.
1
Montrer que : \(\mathrm{Ker} (u-\mathrm{id}) = \Im v\),\(\Im(u-\mathrm{id}) = \mathrm{Ker} v\), \(\mathrm{Ker} v \oplus \Im v = K^n\).
2
En déduire : \(\mathrm{tr} B = k\mathrm{rg} B\).