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Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $A^k = I\ (k \ne 0)$ . On pose $B = I + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$ . Soient $u,v$ les endomorphismes de $K^n$ matrices $A$ et $B$ dans la base canonique.

Montrer que : $\mathrm{Ker} (u-\mathrm{id}) = \Im v$ , $\Im(u-\mathrm{id}) = \mathrm{Ker} v$ , $\mathrm{Ker} v \oplus \Im v = K^n$ .

En déduire : $\mathrm{tr} B = k\mathrm{rg} B$ .